1. Los números complejos se introducen para dar sentido a la raíz cuadrada de los números negativos. Así se abre la puerta a un curioso al sorprendente mundo en el que todas las operaciones (salvo dividir entre 0) son posibles.
La importancia de los números complejos está marcada por sus múltiples aplicaciones en diversas Áreas (Matemáticas, Física, Ingeniería, Tecnología)

Los Números Complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que RcC. Los números complejos tienen la capacidad de representar todas las raíces de los polinomios, cosa que con los reales no era posible.
Esto se consigue gracias a que los complejos hacen uso de una unidad imaginaria llamada número i, que verifica la propiedad:
i2 = − 1
Esta unidad imaginaria es de hecho la que permite definir las operaciones con esos números, puesto que para efectuarlas hay que tener presente que cada lado de esa unidad imaginaria debe trabajarse en forma independiente, no confundiendo, por decirlo de alguna forma, las peras y las manzanas.

Plano de los números complejos

Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos.

otras aplicaciones de los números complejosLos números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables. En una expresión del tipo z = r eiφ podemos pensar en r como la amplitud y en φ como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia sinusoidal) como la parte real de una función de variable compleja de la forma: f(t) = z eiωt donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas.

 

Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.
El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

 

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.
En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomio característico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:

 

2. yo pienso que es posible realizar una raíz cuadrada de un numero negativo porque se puede a llegar a tener formulas de solución o simplemente primero realizas la raíz como numero positivo y después negativamente.

un ejemplo de ello seria:

raíz cuadrada de un número negativo.

Si se eleva un número negativo a segunda potencia, el resultado será positivo:

(-5) × (-5) = 25.

Pero también tenemos conocimiento que √25 puede ser -5

Esto es así ya que cada raíz tiene dos soluciones. Una de estas soluciones es positiva mientras que la otra es negativa. Habitualmente nos interesamos tan sólo en la solución positiva.

¿es posible realizar el calculo de la raíz de un número negativo?

Este caso es tiene gran diferencia con el que explicamos al principio. Puesto que la situación es la siguiente:

 

 

√-25.

Entonces,

¿Existe entonces la posibilidad hallar un número cuya potencia secundaria sea correspondiente -25?

Sabemos que 5 no es una opción puesto que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que,
(-5) × (-5) = 25.

Por lo cual concluimos en que no hay solución en el conjunto de los reales ( o sea aquellos números que poseen una expresión decimal y abarcan tanto a los números racionales, como 38, 37/22, 29,4, como a los números irracionales, que no pueden representarse en forma fracción y que poseen también infinitas cifras decimales sin periodicidad).Pero esto no se cumple si nos referimos a los números imaginarios.

Los números imaginarios son aquellos que tienen como cuadrado a un número negativo. En el año 1777 el matemático y físico suizo Leonhard Euler denotó a la raíz de -1 con la letra i. Si recordamos siempre que debemos multiplicar por √-1 cuando tenemos “i” nos será fácil resolver problemas donde hacen falta las raíces cuadradas de los números negativos. Cualquier número imaginario puede ser expresado como ib. b corresponde a un real y como ya hemos dicho, la letra i hace referencia a la unidad imaginaria, con la siguiente propiedad:

Si nos referimos a los números imaginarios podemos encontrar la solución para √-25 = 5i,o para cualquier otro número negativo, donde i es la unidad imaginaria. Dicha unidad puede ser utilizada para el desarrollo de la raíz cuadrada de los números con signo negativos. De igual modo la raíz de un número imaginario es a la vez un complejo. También es importante saber que la raíz de un número complejo será habitualmente otro número complejo.

 

3. en este caso lo primero que se hace para llegar a resolver este problema es realizar el argumento y el arco tangente para la realización de la teoría de moivre Para poder resolver  las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre, teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de trescientos sesenta grados.
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores de uno, dos, tres,... n - 1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n raíces.

 

 

4.en este número complejo hay infinitos argumentos, pero esencialmente sólo hay tres argumentos diferentes, pues según un teorema, raíz n de un número, tiene n raíces, luego raíz cúbica de i tiene tres resultados diferentes. si empezamos a dar valores desde k = 0, tenemos que seguir dando valores en k de forma consecutiva y detenernos al haber obtenido tres:

raíces cúbicas de i

expresión trigonométrica de las raíces cúbicas de i

1 [ cos ( π / 6) + i sen ( π / 6) ] ;
1 [ cos ( 5π / 6) + i sen ( 5π / 6) ] ;
1 [ cos ( 9π / 6) + i sen ( 9π / 6) ] ;

expresión binómica de las raíces cúbicas de i

cos ( π / 6) + i sen ( π / 6) = ½√ 3 + i ½ ;
cos ( 5π / 6) + i sen ( 5π / 6) = – ½√ 3 + i ½ ;
cos ( 9π / 6) + i sen ( 9π / 6) = 0 – i .

ejercicio

 

 

5. Para obtener la raíz cuadrada o cubica también utilizamos el Teorema de: De Möivre.  primero sacamos lo que son los argumentos que son el valor de R sacar la tangente y la arcotangente Convertí mi número a la forma trigonométrica, después escribí la raíz como una potencia fraccionaria, en seguida sustituí la formula De Möivre. fue sustituida veces que se me pedía, que en este caso fueron tres veces ya que era raíz cúbica. Pase a resolver la ecuación para poder sacar las coordenadas de las graficas de cada uno.